已知函数,其中.(1)是否存在实数使是函数的极值点;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值...
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已知函数,其中.
(1)是否存在实数使是函数的极值点;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值范围。
【回答】
解.(1)∵,其定义域为, ∴.
∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴. 检验当时,是函数的极值点,
∴. ……………………………………5
(2)解:对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥. …………………6分
当[1,]时,.
∴函数在上是增函数.
∴. …………………8分
∵,且,.…………………9分
①当且[1,]时,,
∴函数在[1,]上是增函数,
∴.
由≥,得≥,
又,∴不合题意. …………………11分
②当1≤≤时,
若1≤<,则,
若<≤,则.
∴函数在上是减函数,在上是增函数.
∴.
由≥,得≥,
又1≤≤,∴≤≤. …………………12分
③当且[1,]时,,
∴函数在上是减函数.∴.
由≥,得≥,又,∴.
综上所述,的取值范围为 …………………14分
知识点:导数及其应用
题型:解答题