已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒...
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问题详情：
已知函数
（
为自然对数的底数，
为常数，并且
）.
（1）判断函数
在区间
内是否存在极值点，并说明理由；
（2）若当
时，
恒成立，求整数
的最小值.
【回答】
【详解】（1）
，
令
，则f'（x）＝exg（x），
恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，
所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．
所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．
（2）当a＝ln2时，f（x）＝ex（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），
，令
，
由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又
，h（1）＝ln2﹣1＜0，
所以存在
，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，
当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，
所以
．
由h（x1）＝0得
，即
，
所以
，
令
，则
恒成立，
所以r（x）在
上单调递增，所以
，所以f（x）max＜0，
又因为
，
所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
