已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调*；（3）当时，若存在正实数满足，求*：．

问题详情：

已知函数，．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，试讨论函数的单调*；

（3）当时，若存在正实数满足，

求*：．

【回答】

（1）解：因为，所以，

    因为在处取得极值，

所以，解得．                    

验*：当时，，

易得在处取得极大值．                         

（2）解：因为，

    所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减；                                 

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．                                  

（3）*：当时，，

因为，

所以，

即，

所以．              

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为．  

所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．                                          

知识点：导数及其应用

题型：解答题