已知函数，．（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；（3）设，且，求*：...

问题详情：

已知函数，．

（1）若直线与的图象相切，求实数的值；

（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；

（3）设，且，求*：．

【回答】

解：（1）设直线与的图象的切点为．

因为，所以，                              ……2分

所以．令，．

令得．

所以，所以，所以．                  ……4分

（2） ．令得．

令 ，．

当时，有最小值．

因为在上的图象是连续不断的，

当时，在上恒成立，所以在无零点；

当时， 所以在有且仅有一个零点；

当时，此时，因为，

所以在上有且仅有一个零点．

又因为，

令，，

则，，所以．

所以在上单调递增，所以，

所以在单调递增，所以，

所以在单调递增，所以，

所以在恒成立，

所以，即，所以在上有且仅有一个零点．

所以在上有两个零点．

综上所述，时，在无零点；

          时，在有且仅有一个零点；

          时，在有两个零点．                ……10分

（3）因为在上单调增，且，

所以，，

所以

．

令，．

因为，所以，所以在上单调递增，

所以，

所以式成立，所以．              ……16分

知识点：导数及其应用

题型：解答题