已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
来源：语文精选馆 1.55W
问题详情：
已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
【回答】
（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）因为
，可得
，
，根据离心率公式，结合已知，即可求得*；
（2）点
在
上，点
在直线
上，且
，
，过点
作
轴垂线，交点为
，设
与
轴交点为
，可得
，可求得
点坐标，求出直线
的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得
的面积.
【详解】（1）
，
，
根据离心率
，
解得
或
(舍)，
的方程为：
，
即
；
（2）
点
在
上，点
在直线
上，且
，
，
过点
作
轴垂线，交点为
，设
与
轴交点为
根据题意画出图形，如图
，
，
，
又
，
，
，
根据三角形全等条件“
”，
可得：
，
，
，
，
设
点为
，
可得
点纵坐标为
，将其代入
，
可得：
，
解得：
或
，
点为
或
，
①当
点为
时，
故
，
，
，
可得：
点为
，
画出图象，如图
,
，
可求得直线
的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得
到直线
的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
；
②当
点为
时，
故
，
，
，
可得：
点为
，
画出图象，如图
，
可求得直线
的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得
到直线
的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
，
综上所述，
面积为：
.
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
