已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△...
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问题详情：
已知椭圆C：
过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为
，
（1）求C
方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【回答】
（1）
；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：
，即
.
当y=0时，解得
，所以a=4，
椭圆
过点M(2，3)，可得
，
解得b2=12.
所以C的方程：
.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：
，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程
与椭圆方程
，
可得：
，
化简可得：
，
所以
，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：
，
直线AM方程为：
，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：
，
由两点之间距离公式可得
.
所以△AMN的面积的最大值：
.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
知识点：高考试题
题型：解答题
