2012·浙*卷]如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB...

问题详情：

2012·浙*卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)*：(i)EF∥A1D1；

(ii)BA1⊥平面B1C1EF；

(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

图1－5

【回答】

解：(1)*：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，

又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，

所以C1B1∥EF，

所以A1D1∥EF.

(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥B1C1.

又因为B1C1⊥B1A1，

所以B1C1⊥平面ABB1A1，

所以B1C1⊥BA1.

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，

即∠A1B1F＝∠AA1B，

故BA1⊥B1F，

所以BA1⊥平面B1C1EF.

(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.

由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.

在直角△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得

sin∠BC1H＝＝，

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题