[2012·湖南卷]如图1-7,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥B...
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[2012·湖南卷] 如图1-7,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(1)*:BD⊥PC;
(2)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【回答】
解:(1)*:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
图1-8
又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,所以BD⊥平面PAC.
而PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)设AC和BD相交于点O,连结PO,由(1)知,BD⊥平面PAC,所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角.从而∠DPO=30°.
由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC知,BD⊥PO.
在Rt△POD中,由∠DPO=30°得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形,AC⊥BD,所以△AOD,△BOC均为等腰直角三角形.从而梯形ABCD的高为AD+BC=×(4+2)=3,于是梯形ABCD的面积S=×(4+2)×3=9.
在等腰直角三角形AOD中,OD=AD=2,所以PD=2OD=4,PA==4.
故四棱锥P-ABCD的体积为
V=×S×PA=×9×4=12.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题