如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BA...
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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点,求*:
(1)EN∥平面PDC;
(2)BC⊥平面PEB;
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
【回答】
解:(1)∵AD∥BC,AD⊂平面ADMN,
BC⊄平面ADMN, ∴BC∥平面ADMN,
∵平面ADMN∩平面PBC=MN,BC⊂平面PBC,
∴BC∥MN.∵N是PB的中点,∴MN= (1/2)BC。
又∵AD∥BC,∴AD∥MN.∴ED∥MN,
∵N是PB的中点,E为AD的中点,底面ABCD是边长为2的菱形,
∴ED=MN=1,∴四边形ADMN是平行四边形.
∴EN∥DM,DM⊂平面PDC,∴EN∥平面PDC。…………4分
(2)∵侧面PAD是正三角形,AB=2, E为AD的中点,∴PE⊥AD,AE=1。
∵∠BAD=60°,底面ABCD是边长为2的菱形,∴正三角形ABD是正三角形,,
∴BE⊥AD,又∵AD∥BC,∴BE⊥BC。
∵BE∩PE=E,BE,PE ⊂平面PEB,∴BC⊥平面PEB;………9分
(3)∵由(2)知BC⊥平面PEB,∴BC⊥PB,又∵AD∥BC,∴PB⊥AD;
∵AP=AB=2,N是PB的中点,∴PB⊥AN,
∵AD∩AN= A,AD,AN⊂平面ADMN,∴PB⊥平面ADMN,
又∵PB⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面ADMN.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题