如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB...

问题详情：

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．

（Ⅰ）求*：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；

（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

【回答】

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【专题】空间角．

【分析】（Ⅰ）*AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理*平面EAC⊥平面PBC．

（Ⅱ）判断∠PCE为二面角P﹣AC﹣E的平面角，利用余弦定理即可求解．

（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．连接AF，说明∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，

∴AC⊥CP，AC⊥CE，

∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角．  …

∵PC=AB=2AD=2CD=2，

∴在△PCB中，可得PE=CE=，

∴cos∠PCE==． …

（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．

由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，

∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，

∴PF⊥平面EAC，连接AF，

则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．  …

由（Ⅱ）知CE=，∴PF=，

∴sin∠PAF==，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． …（13分）

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题