.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC...

问题详情：

.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

(1)*:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

【回答】

.(1)*取PA的中点F,连接EF,BF.

因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.

由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,

又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,

又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.

(2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).

设M(x,y,z)(0<x<1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,

所以|cos<,n>|=sin45°,,

即(x-1)2+y2-z2=0.            ①

又M在棱PC上,设=,则

x=λ,y=1,z=       ②

由①②解得(舍去),所以M,从而

设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则

即

所以可取m=(0,-,2).

于是cos<m,n>=

因此二面角M-AB-D的余弦值为

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题