如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠BCD=60°,点E是BC边的中点,AC,DE交于点O,...
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠BCD=60°,点E是BC边
的中点,AC,DE交于点O,PO=2,且PO⊥平面ABCD.
(1)求*:PD⊥BC;
(2)在线段AP上找一点F,使得BF∥平面PDE,
并求此时四面体PDEF的体积.
【回答】
(1)由题可得△BCD为正三角形,E为BC中点,故DE⊥BC.
又PO⊥平面ABCD,BC平面ABCD,则PO⊥BC,
而DE∩PO=O,平面,
所以BC⊥平面PDE.
又PD平面PDE,故PD⊥BC.
(2)取AP中点为F,再取PD中点为G,连结FG.
则FG为△PAD中位线,故FG AD,
又BE AD,所以FGBE,于是四边形BFGE为平行四边形,
因此BF∥EG.又BF平面PDE,EG平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
由(1)知,BC⊥平面PDE.则有BC⊥PE,BC⊥DE,
而BC∥FG,故FG⊥PE,FG⊥DE,且DE∩PE=E,
所以FG⊥平面PDE.
于是四面体PDEF的体积为V=S△PDE·FG=××2××1=1.
另解(等体积转化):因为BF//面PDE,则B,F两点到平面PDE的距离相等,
所以四面体PDEF的体积等于四面体PDEB,
因为PO⊥平面ABCD,所以VP-BDE=·PO·S△BDE=1.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题