[2012·福建卷]如图1－3所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱...

问题详情：

 [2012·福建卷] 如图1－3所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求*：B1M⊥平面MAC.

图1－3

【回答】

解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，

AD⊥平面CDD1C1，

∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，

又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，

∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.

(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，

当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值．

由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．

连接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2.

∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.

又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；

同理可*，B1M⊥AM，

又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题