如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求*：AC...

问题详情：

如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．

（1）求*：AC1∥平面PBD；

（2）求*：BD⊥A1P．

【回答】

【解析】（1）连接AC交BD于O点，连接OP，

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，

所以O点是AC的中点，所以AO=OC．

又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，所以AC1∥平面PBD．6分

（2）连接A1C1．

因为ABCD–A1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．（12分）

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题