如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且（1）求三棱锥D...
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问题详情：
如图：在三棱锥D-ABC中，已知
是正三角形，AB
平面BCD，
，E为BC的中点，F在棱AC上，且
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求*AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
【回答】
解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝
．
设G为CD的中点，则CG＝
，AG＝
．
∴
，
，
．
三棱锥D－ABC的表面积为
．……………..4分
（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．[。 …..8分
（3）存在这样的点N，当CN＝
时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝
CM．
∴当CF＝
CN时，MN∥OF．∴CN＝
……….12分
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
