如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的...

问题详情：

如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求*：直线AB1∥平面BC1D；

（2）求*：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

【回答】

【解答】（1）*：如图所示，

连接B1C交BC1于O，连接OD，

因为四边形BCC1B1是平行四边形，

所以点O为B1C的中点，

又因为D为AC的中点，

所以OD为△AB1C的中位线，

所以OD∥B1A，

又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）*：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又因为AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因为BD⊂平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，

∴S△BCD=×3×3=，

∴==••6=9．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题