如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F...

问题详情：

 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，

AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．

（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？

（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

【回答】

（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．

以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．

所以，

设AF＝x，则F(，0，x)，

.

，所以       

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.

由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………… 5分

（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.    

设平面B1CF的法向量为，则由得

令z=1得，

所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题