．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求*：AB1⊥...

问题详情：

．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．

（1）求*：AB1⊥BC1；

（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．

【回答】

【考点】MT：二面角的平面角及求法．

【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；

（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得*．

【解答】（1）*：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1．

又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，

∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，

∴BC1⊥B1C，

又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1；

（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．

由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，

∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1，

∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．

∵△OPB1～△ACB1，∴，

∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，

∴=．

在Rt△POB中，sin∠OPB=，

∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题