如图1­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且A...

问题详情：

 如图1­5，四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

图1­5

(1)*：Q为BB1的中点；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

【回答】

解： (1)*：因为BQ∥AA1，BC∥AD，

BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，

即QC∥A1D.

故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，

于是△QBC∽△A1AD，

所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．

(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.

图1

V三棱锥Q ­A1AD＝×·2a·h·d＝ahd，

V四棱锥Q ­ABCD＝··d·＝ahd，

所以V下＝V三棱锥Q ­A1AD＋V四棱锥Q ­ABCD＝ahd.

又V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD＝ahd，

所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.

(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.

所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．

因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.

又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，

所以S△ADC＝4，AE＝4.

于是tan∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝.

故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.

方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．

设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.

因为S四边形ABCD＝·2sin θ＝6，

所以a＝.

图2

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题