如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面...
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如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)动点P从点B出发,以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动;动点Q从点C出发,以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动;过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.问:
①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由.
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)40;(2)①不存在;②或或.
【解析】
∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.
∵CD=10,∴HC=,∴BC=BH+CH=8,
∴SABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.
=,
所以PQ不平分梯形ABCD的面积;
②第一种情况:当0≤t≤4时.过Q点作QH⊥AB,垂足为H.
解得:,(不合题意舍去),
∴,
∴第二种情况:4≤t<5时.DP=DQ=10﹣2t.
∴当4≤t<5时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.
第三种情况:5<t≤6时.DP=DQ=2t﹣10.
∴当5<t≤6时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.
综上所述,或4≤t<5或5<t≤6时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.
考点:1.直角梯形;2.等腰直角三角形;3.动点型.
知识点:相似三角形
题型:解答题