如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D∩平面A1BC1＝H．有下列结论．①B1D⊥平面A1BC1；...

问题详情：

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D∩平面A1BC1＝H．

有下列结论．

①B1D⊥平面A1BC1；

②平面A1BC1将正方体体积分成1∶5两部分；

③H是B1D的中点；

④平面A1BC1与正方体的六个面所成的二面角的余弦值都为．则正确结论的个数有(　　)

A．1                                         B．2

C．3                                         D．4

【回答】

C．对于①，连接B1C与A1D，由正方体*质知，BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，

又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD．

所以BC1⊥平面A1B1CD．

又B1D⊂平面A1B1CD．

所以B1D⊥BC1．

同理B1D⊥A1B，A1B∩BC1＝B．

所以B1D⊥平面A1BC1，故①正确．

对于②．设正方体棱长为a．

则V三棱锥B­A1B1C1＝·a·a·a＝a3．

所以平面A1BC1将正方体分成两部分的体积之比为a3∶(a3－a3)＝1∶5．故②正确．

对于③，设正方体棱长为a，

则A1B＝a．由VB1­A1BC1＝a3，

得××(a)2·B1H＝a3，

所以B1H＝a，而B1D＝a．

所以B1H∶HD＝1∶2，即③错误．

对于④，由对称*知，平面A1BC1与正方体六个面所成的二面角的大小都相等．

由①知B1H⊥平面A1BC1，而A1B1⊥平面B1BCC1．

所以∠A1B1H的大小即为所成二面角的大小．

cos∠A1B1H＝＝＝．故④正确．故选C．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：选择题