设,等差数列中,,记=,令,数列的前n项和为.(1)求的通项公式和;(2)求*:;(3)是否存在正整数,且,使...
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设,等差数列中,,记=,令,数列的前n项和为.
(1)求的通项公式和;
(2)求*:;
(3)是否存在正整数,且,使得成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)设数列的公差为,由,
.解得,=3 , ……………2分
∴ ……………4分
∵, ∴Sn==. ……………6分
(2)
∴ ……………8分
∴ ……………10分
(3)由(2)知, ∴,,∵成等比数列.
∴ ……………12分
即
当时,7,=1,不合题意;当时,,=16,符合题意;
当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;
当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;
……………15分
当时, ,则,而,
所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. ……………18分[来
另解:
(3)由(2)知, ∴,
∵成等比数列. ∴ , ……………12分
取倒数再化简得
当时,,=16,符合题意; ……………14分
,
而,
所以,此时不存在正整数m、n , 且1<m<n,使得成等比数列. ……………17分
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列. ……………18分
知识点:数列
题型:解答题