设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝2an＋n－3成立．(1)求*：数列{an－1}为...

问题详情：

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝2an＋n－3成立．

(1)求*：数列{an－1}为等比数列；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

【回答】

解　(1)*：当n＝1时，S1＝2a1＋1－3，得a1＝2，

由Sn＝2an＋n－3，得Sn＋1＝2an＋1＋n＋1－3，

两式相减得an＋1＝2an＋1－2an＋1，

即an＋1＝2an－1，

＝2，而a1－1＝1，

∴数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)由(1)得an－1＝1·2n－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1，

nan＝n(2n－1＋1)＝n·2n－1＋n，

∴Tn＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n·2n－1＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋.

令Vn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，

则2Vn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，

两式相减得

－Vn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，

∴Vn＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1，

∴Tn＝(n－1)2n＋＋1.

知识点：数列

题型：解答题