.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an﹣n+1(n∈N*),bn=an+1.(1)求数列{bn}的通...
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.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an﹣n+1(n∈N*),bn=an+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.
【回答】
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(1)求出数列的首项,利用通项与和的关系,推出数列bn的等比数列,求解通项公式.
(2)利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1﹣1+1,易得a1=0,b1=1;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n+1﹣[2an﹣1﹣n+1+1],
整理得an=2an﹣1+1,
∴bn=an+1=2(an﹣1+1)=2bn﹣1,
∴数列{bn}构成以首项为b1=1,公比为2等比数列,
∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1,n∈N•;
(2)由(1)知bn=2n﹣1,则nbn=n•2n﹣1,
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1,①
∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,②
由①﹣②得:﹣Tn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n,
∴Tn=(n﹣1)2n+1.
知识点:数列
题型:解答题