已知数列{an}的前n项和为Sn，把满足条件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有数列{an}构成的*记为M． （...

问题详情：

已知数列{an}的前n项和为Sn，把满足条件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有数列{an}构成的*记为M．

  （1）若数列{an}通项为an＝，求*：{an}∈M；

  （2）若数列{an}是等差数列，且{an＋n}∈M，求2a5－a1的取值范围；

（3）若数列{an}的各项均为正数，且{an}∈M，数列{}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{an}的通项；若不存在，说明理由．

【回答】

解:（1）因为an＝，所以Sn＝×＝1－()n，

所以an＋1－Sn＝()n＋1－1＋()n＝()n－1≤×－1＝－＜0，

所以an＋1＜Sn，即{an}∈M．                            ………………4分

（2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，

所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*）

特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，

由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋d＋，

整理得n2＋(a1－d－)n－a1－1≥0，

因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有≥0，解得d≥－1，

又d≤－1，所以d＝－1，

于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1，

所以2a5－a1＝2(a5－a1)＋a1＝8d＋a1＝－8＋a1≥－9，

因此2a5－a1的取值范围是[－9，＋∞)．                  ………………10分

（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即≤2，

所以＝××…×≤2n，从而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n，     

又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n－2(n≥3)，

又a2≤S1＝a1×22－2，a1＜a1×21－2，所以有an≤a1×2n－2(n∈N*)，所以≥×2n，

假设数列{}中存在无穷多项依次成等差数列，

不妨设该等差数列的第n项为dn＋b(b为常数)，

则存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝≥×2m≥×2n，即da1n＋ba1≥2n＋2，

设f (n)＝，n∈N*，n≥3， 则f (n＋1)－f (n)＝－＝＜0，

即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝＜1，

于是当n≥3时，2n＋2＞n2，从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，

于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立，

因此数列{}中是不存在无穷多项依次成等差数列．        ………………16分

知识点：数列

题型：解答题