已知椭圆C:=1和点P(1,2),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方...
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已知椭圆C:=1和点P(1,2),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.
【回答】
解:设弦中点为M(x,y),交点为A(x1,y1),B(x2,y2).当M与P不重合时,A、B、M、P四点共线.
∴(y2-y1)(x-1)=(x2-x1)(y-2),①
由+=1,+=1两式相减得
=0.
又x1+x2=2x,y1+y2=2y,
由①②可得:9x2+16y2-9x-32y=0,③
当点M与点P重合时,点M坐标为(1,2)适合方程③,
∴弦中点的轨迹方程为:9x2+16y2-9x-32y=0.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题