如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.(Ⅰ)求*://平面;(Ⅱ)求*:面平...

问题详情：

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.

(Ⅰ) 求*: //平面;

(Ⅱ) 求*:面平面;

(Ⅲ) 求二面角的正切值.

【回答】

法一:(Ⅰ)*:为平行四边形

连结,为中点,

为中点∴在中//  

且平面,平面   ∴  

(Ⅱ)*:因为面面 平面面  

为正方形,,平面

所以平面 ∴  

又,所以是等腰直角三角形,

且   即  

,且、面   

面  

又面  面面  

(Ⅲ) 【解】:设的中点为,连结,,

则由(Ⅱ)知面,  

,面,,

是二面角的平面角  

中, 

 故所求二面角的正切值为  

法二:如图,取的中点, 连结,.

∵,  ∴.

∵侧面底面,

,   

∴,  

而分别为的中点,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,

则有,,,,,.

∵为的中点, ∴  

(Ⅰ)*:易知平面的法向量为而,

且,   ∴ //平面  

(Ⅱ)*:∵,  ∴,

∴,从而,又,,

∴,而,   

∴平面平面  

(Ⅲ) 【解】:由(Ⅱ)知平面的法向量为.

设平面的法向量为.∵,

∴由可得,令,则,

故∴,

即二面角的余弦值为,  

所以二面角的正切值为          

知识点：平面向量

题型：综合题