、如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．（Ⅰ）求*：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ...

问题详情：

、如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．

（Ⅰ）求*：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

【回答】

解：（Ⅰ）因为底面，底面，

所以，

正方形中，

又因为，

所以平面，

因为平面，

所以．                                 …………….4分

（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.

如图建立空间直角坐标系，不妨设.

依题意，则，

所以.

设平面的法向量，

因为，

所以.

令，得，即，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为；   ………………11分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，

因为， 且二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．          

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题