如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点.（Ⅰ）*：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.
来源：语文精选馆 1.97W
问题详情：
如图，三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
是棱
的中点.
（Ⅰ）*：平面
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
【回答】
（1）详见解析；（2）
【解析】
(1)首先由题意*得
平面
.然后结合面面垂直的判断定理即可*得平面
平面
；
(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.
试题解析：
（Ⅰ）因为侧棱
底面
，
所以
，
又因为
，
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，
设
，由
，
，
是棱
的中点.
所以
，
，
则
，
所以
，
因
，
所以
平面
.
又因为
平面
，
所以平面
平面
.
（Ⅱ）如图所示，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
，
，
.
显然
是平面
一个法向量，
设平面
的法向量
，
由
令
，得平面
的一个法向量
，
所以
，
即平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.
点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
