如图，在直三棱柱中，，是的中点，.（1）求*：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.
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问题详情：
如图，在直三棱柱
中，
，
是
的中点，
.
（1）求*：
平面
；
（2）若异面直线
和
所成角的余弦值为
，求四棱锥
的体积.
【回答】
（1）见*；（2）3
【解析】
（1）连接
，交
于点
，连结
，利用中位线定理*
平面
．
（2）通过平移，表示出异面直线
和
所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得
．所以
可得解．
【详解】
解法一：
（1）连结
，交
于点
，连结
.
在直三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
所以
为
的中点，
又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
为锐角，
所以
为异面直线
和
所成的角，
所以由条件知
，
在
中，
，
，
，
，
.
又
平面
，
平面
，
，
所以
，
，
，
所以
.
解法二：（1）*：取
的中点
，连结
，
，
，
在直三棱柱
中，
四边形
为平行四边形，又
是
的中点，
所以
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
.
（2）过
作
于
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
为锐角，
所以
为异面直线
和
所成的角，
所以由条件知
，
在
中，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
所以
.
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判定，割补法求体积，属于中档题．
知识点：空间中的向量与立体几何
题型：解答题
