如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求*：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.
来源：语文精选馆 1.96W
问题详情：
如图，四棱锥
的底面是边长为2的菱形，
底面
.
（1）求*：
平面
；
（2）若
，直线
与平面
所成的角为
，求四棱锥
的体积.
【回答】
（1）*见解析；（2）
【分析】
（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得
平面
；
（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.
【详解】
解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PD⊥平面ABCD，
平面ABCD，
所以PD⊥AC，又
，
故AC⊥平面PBD；
（2）因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45°，
因此BD=PD=2.又AB= AD=2，
所以菱形ABCD的面积为
，
故四棱锥P- ABCD的体积
.
【点睛】
本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论*能力以及运算求解能力，是基础题.
知识点：空间几何体
题型：解答题
