如图8，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，∠APB＝60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C...

问题详情：

如图8，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，∠APB＝60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是　　　　　　．

【回答】

25题解析：连结AO、BO、CO、DO、EO，再连结PO交⊙O于点M，交CD于点N，过点P作PH⊥CD于点H．

∵PA、PB切⊙O于点A、B，

∴OA＝OB，PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥BP，∠APO＝∠BPO．

∴S△AOP＝S△BOP．

又∵CD切⊙O于点E，

同理，S△AOC＝S△EOC，S△BOD＝S△EOD．

∴S四边形AOBP＝2S△AOP，S四边形AOBP＝S五边形AOBDC＋S△PCD＝2S△DOC＋S△PCD．

∴2S△AOP＝2S△DOC＋S△PCD．

即　2×AO×AP＝2×CD×OE＋CD×PH．

在△AOP中，∠OAP＝90°，PA＝4，∠APO＝∠APB＝×60°＝30°．

∴OA＝tan∠APO×AP＝tan30°×4＝，OP＝．

∴OE＝．

∴×4＝CD（＋PH）．

∴　  　CD＝．

∵PH≤PN≤PM，当点E与M重合时，H、N也与M重合，取等号．

∴当PH＝OP－OM＝－＝时，CD最小，最小值为．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：填空题