已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求*：数列为等比数列；②若对任意，...
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问题详情：
已知数列
各项为正数，且对任意
，都有
.
（1）若
，
，
成等差数列，求
的值；
（2）①求*：数列
为等比数列；
②若对任意
，都有
，求数列
的公比
的取值范围.
【回答】
【详解】解：（1）因为
，所以
，因此
，
，
成等比数列.
设公比为
，因为
，
，
成等差数列，
所以
，即
，于是
，解得
或
，
所以
或
.
（2）①因为
，所以
，
两式相除得
，即
，
由
，得
，
两式相除得
，即
，
所以
，即
，
，
，
由（1）知
，所以
，
，
因此数列
为等比数列.
②当
时，
由
时，可得
，所以
，
因此
，
所以
满足条件.
当
时，
由
，得
，
整理得
.
因为
，
，所以
，
因此
，即
，
由于
，因此
，与任意
恒成立相矛盾，
所以
不满足条件.
综上，公比
的取值范围为
.
【点睛】本题主要考查等差数列的*质和等比数列的*，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
知识点：数列
题型：解答题
