在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动...

问题详情：

在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．

（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出*；

（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

【回答】

【解答】解：（1）如图1，

由平移得，EF=AD，

∵BD是正方形的对角线，

∴∠ADB=∠CDB=45°，

∵CF⊥BD，

∴∠DGF=90°，

∴∠GFD+∠CBD=90°，

∴∠DFG=45°，

∴GD=GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF

∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，

∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，

∴AG⊥EG．

故*为AG=EG，AG⊥EG．

（2）（1）中的结论仍然成立，

*：如图2

由平移得，EF=AD，

∵BD是正方形的对角线，

∴∠ADB=∠CDB=45°，

∵CF⊥BD，

∴∠DGF=90°，

∴∠GFD+∠CBD=90°，

∴∠DFG=45°，

∴GD=GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF

∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，

∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，

∴AG⊥EG．

（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，

∴∠GEA=45°，

∵∠AGF=120°，

∴∠AGB=∠CGB，=30°，

∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，

∴∠CEG=75°，

∴∠AED=30°，

在Rt△ADE中，AD=2，

∴DE=2．

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题