如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称...

问题详情：

如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.

图T6-8

(1)求*:GF=GC;

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并*.

【回答】

.解:(1)*:连接DF,如图:

∵点A关于直线DE的对称点为F,

∴DA=DF,∠DFE=∠A=90°.

∴∠DFG=90°.

∵四边形ABCD是正方形,

∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG=90°.

又∵DG=DG,

∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).

∴GF=GC.

(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.

由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°,

∴∠EDH=45°.

又∵EH⊥DE,

∴△DEH是等腰直角三角形.

∴DE=EH.

∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,

∴∠1=∠5.

∴△DPE≌△EBH(SAS).

∴PE=BH.

∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=AE.

∴BH=AE.

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题