如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内...

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设=n.

(1)求*：AE=GE；

(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；

(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.

【回答】

解：设AE=a，则AD=na，

(1)由对称知，AE=FE，

∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AF，

∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，

∴EG=EF，

∴AE=EG；

(2)如图1，当点F落在AC上时，

由对称知，BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DAC，

∴，∵AB=DC，

∴AB2=AD•AE=na2，

∵AB＞0，

∴AB=a，

∴；

(3)若AD=4AB，则AB=a，

如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时a=a，

∴n=4，

∴当点F落在矩形内部时，n＞4，

∵点F落在矩形内部，点G在AD上，

∴∠FCG＜∠BCD，

∴∠FCG＜90°，

①当∠CFG=90°时，

如图3，则点F落在AC上，

由(2)得，，

∴n=16，

②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DGC，

∴，

∴AB•DC=DG•AE，

∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=（n﹣2）a，

∴（a）2=（n﹣2）a•a，

∴n=8+4或n=8﹣4（舍），

∴当n=16或n=8+4时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．

知识点：相似三角形

题型：解答题