如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE...

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交*线DC于点F．

（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　；

（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并*；（用含k的式子表示）

（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

【回答】

（1）AF＝AE；（2）AF＝kAE，*见解析；（3）EG的长为或

【解析】

（1）*△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的*质得出AF＝AE；

（2）*△ABE∽△ADF，由相似三角形的*质得出，则可得出结论；

（3）①如图1，当点F在DA上时，*得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出，求出AE＝．则可得出*；

②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长．

【详解】

解：（1）AE＝AF．

∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∴△EAB≌△FAD（AAS），

∴AF＝AE；

故*为：AF＝AE．

（2）AF＝kAE．

*：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，

∴∠FAD+∠FAB＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB+∠FAB＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∵∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ABE＝∠ADF．

∴△ABE∽△ADF，

∴，

∵AD＝kAB，

∴，

∴，

∴AF＝kAE．

（3）解：①如图1，当点F在DA上时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AD＝2AB＝4，

∴AB＝2，

∴CD＝2，

∵CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝，

∵DF∥AB，

∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，

∴△GDF∽△GBA，

∴

∵AF＝GF+AG，

∴AG＝

∵△ABE∽△ADF，

∴，

∴AE＝＝

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝，

②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝．

∵DF∥AB，

∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，

∴△AGB∽△FGD，

∴，

∵GF+AG＝AF＝5，

∴AG＝2，

∵△ABE∽△ADF，

∴，

∴，

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝．

综上所述，EG的长为或．

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与*质，正方形的*质，矩形的*质，相似三角形的判定与*质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与*质是解题的关键．

知识点：相似三角形

题型：综合题