如图①,在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM...
问题详情:
如图①,在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N
(1)求*:MN=MC;
(2)若DM:DB=2:5,求*:AN=4BN;
(3)如图②,连接NC交BD于点G.若BG:MG=3:5,求NG•CG的值.
【回答】
解:(1)如图①,过M分别作ME∥AB交BC于E,MF∥BC交AB于F,
则四边形BEMF是平行四边形,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=∠BME=45°,
∴ME=BE,
∴平行四边形BEMF是正方形,
∴ME=MF,
∵CM⊥MN,
∴∠CMN=90°,
∵∠FME=90°,
∴∠CME=∠FMN,
∴△MFN≌△MEC(ASA),
∴MN=MC;
(2)由(1)得FM∥AD,EM∥CD,
∴===,
∴AF=2.4,CE=2.4,
∵△MFN≌△MEC,
∴FN=EC=2.4,
∴AN=4.8,BN=6﹣4.8=1.2,
∴AN=4BN;
(3)如图②,把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH,
∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,
∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH,∠DCM=∠BCH=45°,
∴∠MBH=90°,∠MCH=90°,
∵MC=MN,MC⊥MN,
∴△MNC是等腰直角三角形,
∴∠MNC=45°,
∴∠NCH=45°,
∴△MCG≌△HCG(SAS),
∴MG=HG,
∵BG:MG=3:5,
设BG=3a,则MG=GH=5a,
在Rt△BGH中,BH=4a,则MD=4a,
∵正方形ABCD的边长为6,
∴BD=6,
∴DM+MG+BG=12a=6,
∴a=,
∴BG=,MG=,
∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°,
∴△MGC∽△NGB,
∴=,
∴CG•NG=BG•MG=.
知识点:各地中考
题型:解答题