如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<BD),连接AM,过点M作MN⊥AM...
问题详情:
如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<BD),连接AM,过点M作MN⊥AM交BC于点N.
(1)如图①,求*:MA=MN;
(2)如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当时,求AN和PM的长;
(3)如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=2时,求△HMN的面积.
【回答】
(1)*:过点M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,如图①所示:
∴∠AFM=∠MFB=∠BGM=∠NGM=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DAB=90°,AD=AB,∠ABD=∠DBC=45°,
∵MF⊥AB,MG⊥BC,
∴MF=MG,
∵∠ABC=90°,
∴四边形FBGM是正方形,
∴∠FMG=90°,
∴∠FMN+∠NMG=90°,
∵MN⊥AM,
∴∠AMF+∠FMN=90°,
∴∠AMF=∠NMG,
在△AMF和△NMG中,,
∴△AMF≌△NMG(ASA),
∴MA=MN;
(2)解:在Rt△AMN中,由(1)知:MA=MN,
∴∠MAN=45°,
∵∠DBC=45°,
∴∠MAN=∠DBC,
∴Rt△AMN∽Rt△BCD,
∴=()2,
在Rt△ABD中,AB=AD=6,
∴BD=6,
∵,
∴=,
解得:AN=2,
∴在Rt△ABN中,BN===4,
∵在Rt△AMN中,MA=MN,O是AN的中点,
∴OM=OA=ON=AN=,OM⊥AN,
∴∠AOP=90°,
∴∠AOP=∠ABN,
∵∠PAO=∠NAB,
∴△PAO∽△NAB,
∴=,即:=,
解得:OP=,
∴PM=OM+OP=+=;
(3)解:过点A作AF⊥BD于F,如图③所示:
∴∠AFM=90°,
∴∠FAM+∠AMF=90°,
∵MN⊥AM,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMF+∠HMN=90°,
∴∠FAM=∠HMN,
∵NH⊥BD,
∴∠AFM=∠MHN=90°,
在△AFM和△MHN中,,
∴△AFM≌△MHN(AAS),
∴AF=MH,
在等腰直角△ABD中,∵AF⊥BD,
∴AF=BD=×6=3,
∴MH=3,
∵AM=2,
∴MN=2,
∴HN===,
∴S△HMN=MH•HN=×3×=3,
∴△HMN的面积为3.
知识点:各地中考
题型:综合题