如图①所示,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于点N...
问题详情:
如图①所示,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于点N.
(1)求*:MD=MN;
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改成“M是AB上任意一点”,其余条件不变,如图②所示,则结论“MD=MN”还成立吗?若成立,给出*;若不成立,请说明理由.
【回答】
(1)*:如图①所示,取AD的中点F,连接MF.
∵M是AB的中点,F是AD的中点,
∴,.
∵AB=AD,∴AF=AM=DF=MB,
∵∠1=45°,∴∠DFM=135°.
∵BN平分∠CBE,∴∠CBN=45°.
∴∠MBN=135°,∴∠MBN=∠DFM.
∵MN⊥DM,∴△DMN=90°,∴∠NMB+∠DMA=90°.
∵∠A=90°,∴∠ADM+∠DMA=90°.
∴∠NMB=∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD=MN.
(2)MD=MN仍成立.
*:如图②,在AD上取点F,使AF=AM,连接MF.
由(1)中*法可得DF=BM,∠DFM=∠MBN,∠FDM=∠BMN,
∴△DFM≌△MBN,∴MD=MN.
【解析】
试题分析:(1)*MD=MN,可*它们所在的三角形全等,易知MN在钝角△MBN中,而MD在直角△AMD中,显然需添加辅助线构造全等三角形,由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F,构造△MDF;(2)可参照第(1)题的方法论*.
*:(1)如图①所示,取AD的中点F,连接MF.
∵M是AB的中点,F是AD的中点,
∴,.
∵AB=AD,∴AF=AM=DF=MB,
∵∠1=45°,∴∠DFM=135°.
∵BN平分∠CBE,∴∠CBN=45°.
∴∠MBN=135°,∴∠MBN=∠DFM.
∵MN⊥DM,∴△DMN=90°,∴∠NMB+∠DMA=90°.
∵∠A=90°,∴∠ADM+∠DMA=90°.
∴∠NMB=∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD=MN.
(2)MD=MN仍成立.
*:如图②,在AD上取点F,使AF=AM,连接MF.
由(1)中*法可得DF=BM,∠DFM=∠MBN,∠FDM=∠BMN,
∴△DFM≌△MBN,∴MD=MN.
【难度】困难
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题