已知正方形ABCD,点M边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG、BG...
问题详情:
已知正方形ABCD,点M边AB的中点.
(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.
①求*:BE=CF;
②求*:BE2=BC•CE.
(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC•CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长CD于点F,求tan∠CBF的值.
【回答】
【考点】SO:相似形综合题..
【分析】(1)①由正方形的*质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°,结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF,*△ABE≌△BCF可得;
②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB,即∠GAM=∠AGM,结合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG,从而*△CGE∽△CBG得CG2=BC•CE,由BE=CF=CG可得*;
(2)延长AE、DC交于点N,*△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE,由AB=BC、BE2=BC•CE知CN=BE,再由==且AM=MB得FC=CN=BE,设正方形的边长为1、BE=x,根据BE2=BC•CE求得BE的长,最后由tan∠CBF==可得*.
【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
∴∠ABG+∠CBF=90°,
∵∠AGB=90°,
∴∠ABG+∠BAG=90°,
∴∠BAG=∠CBF,
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE≌△BCF,
∴BE=CF,
②∵∠AGB=90°,点M为AB的中点,
∴MG=MA=MB,
∴∠GAM=∠AGM,
又∵∠CGE=∠AGM,∠GAM=∠CBG,
∴∠CGE=∠CBG,
又∠ECG=∠GCB,
∴△CGE∽△CBG,
∴=,即CG2=BC•CE,
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG,
由①知BE=CF,
∴BE=CG,
∴BE2=BC•CE;
(2)延长AE、DC交于点N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠N=∠EAB,
又∵∠CEN=∠BEA,
∴△CEN∽△BEA,
∴=,即BE•CN=AB•CE,
∵AB=BC,BE2=BC•CE,
∴CN=BE,
∵AB∥DN,
∴==,
∵AM=MB,
∴FC=CN=BE,
不妨设正方形的边长为1,BE=x,
由BE2=BC•CE可得x2=1•(1﹣x),
解得:x1=,x2=(舍),
∴=,
则tan∠CBF===.
【点评】本题主要考查相似形的综合问题,熟练掌握正方形与直角三角形的*质、全等三角形的判定与*质、相似三角形的判定与*质是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题