已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°.点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与...
问题详情:
已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°.点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM,*线AG∥BC,延长BM交*线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.
(1)如图,当∠ACB=90°时
①求*:△BCM≌△ACN;
②求∠BDE的度数;
(2)当∠ACB=α,其它多件不变时,∠BDE的度数是 α或180°﹣α (用含α的代数式表示)
(3)若△ABC是等边三角形,AB=3,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.
【回答】
②想办法*∠ADE+∠ADB=90°即可;
(2)分两种情形讨论求解即可,①如图2中,当点E在AN的延长线上时,②如图3中,当点E在NA的延长线上时,
(3)分两种情形求解即可,①如图4中,当BN=BC=时,作AK⊥BC于K.解直角三角形即可.②如图5中,当CN=BC=时,作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H.
【解答】(1)①*:如图1中,
∵CA=CB,BN=AM,
∴CB﹣BN=CA﹣AM
即CN=CM,
∵∠ACN=∠BCM
∴△BCM≌△ACN.
②解:如图1中,
∵△BCM≌△ACN,
∴∠MBC=∠NAC,
∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∵AG∥BC,
∴∠GAC=∠ACB=90°,∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠NAC,
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD,
∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°,
∴∠BDE=90°.
(2)解:如图2中,当点E在AN的延长线上时,
易*:∠CBM=∠ADB=∠CAN,∠ACB=∠CAD,
∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB,
∴∠BDE=∠ACB=α.
如图3中,当点E在NA的延长线上时,
易*:∠1+∠2=∠CAN+∠DAC,
∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN,
∴∠1=∠CAD=∠ACB=α,
∴∠BDE=180°﹣α.
综上所述,∠BDE=α或180°﹣α.
故*为α或180°﹣α.
(3)解:如图4中,当BN=BC=时,作AK⊥BC于K.
∵AD∥BC,
∴==,
∴AD=,AC=3,易*△ADC是直角三角形,则四边形ADCK是矩形,△AKN≌△DCF,
∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=.
如图5中,当CN=BC=时,作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H.
∵AD∥BC,
∴==2,
∴AD=6,易*△ACD是直角三角形,
由△ACK∽△CDH,可得CH=AK=,
由△AKN≌△DHF,可得KN=FH=,
∴CF=CH﹣FH=4.
综上所述,CF的长为或4.
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和*质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:综合题