已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延...

问题详情：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．

（1）若CM=，则AM=　   　；

（2）如图1，若点E是BM的中点，求*：MN=AM；

（3）如图2，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

【回答】

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=BC，AB=4，[来源:学科网]

∴AC=BC=4，

∴AM==，

故*为：；

（2）*：如图1，过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，

∵∠ACB=90°，MN∥AC，

∴∠FBE=∠NME=90°，

在△BEF和△MEN中，[来源:]

∴△BEF≌△MEN，

∴BF=MN，

∵CD=CM，BC=AC，

∴Rt△BDC≌Rt△AMC，

∴BD=AM，

∵NF平分∠BDC，

∴∠BDF=∠FDC，

∵BF∥AC，

∴∠F=∠FDC，

∴∠BDF=∠F，

∴BD=BF，

∴MN=AM；

（3）如图2，过点D作DH⊥MN于点H，

∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD=CM，

∴四边形CDHM是正方形，又点N在BA的延长线上，

∴△BNM∽△BAC，

∵AC=BC，

∴NM=BN，又MH=CM=DH，

∴NH=BC，

∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，

∴BD=AM=ND，∠CBD=∠HND，

又∠BDE=∠EDC，∠EDC=∠HND，

∴∠BDE=∠EDC=∠CBD，

∵∠BDE+∠EDC+∠CBD=90°，

∴∠BDE=∠EDC=∠CBD=30°，

在Rt△ABC中，AC=BC，AB=4，

∴AC=BC=4，

在Rt△BDC中，BD==

∴AM=．

知识点：相似三角形

题型：综合题