如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴，

解得：b＝﹣2，c＝﹣3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴直线AB的解析式为：y＝x+1，

∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，

∴当t＝时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD＝S△BEF+S△DEF＝××（4﹣）+××（﹣1）＝；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）

则有：m2﹣2m﹣3＝，

解得：m1＝1+，m2＝1﹣，

∴P1（1﹣，），P2（1+，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：n2﹣2n﹣3＝﹣，

解得：n1＝，n2＝（与点F重合，舍去），

∴P3（，﹣），

综上所述：所有点P的坐标：P1（1+，），P2（1﹣，），P3（，﹣）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题