已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交...

问题详情：

已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D

（1）求*：MA=MH

（2）猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以*．

【回答】

（1）见解析；（2）CB=CM+2CD.

【解析】

分析：（1）过M点作MN∥AC交AB于N，然后根据全等三角形的判定“ASA”*△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的*质可得MA=MH；

（2）过M点作MG⊥AB于G，再根据全等三角形的判定“AAS”*△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD．

详解：（1）如图，过M点作MN∥AC交AB于N，

则BM=BN，∠ANM=120°，

∵AB=BC，

∴AN=MC，

∵CH是∠ACD的平分线，

∴∠ACH=60°=∠HCD，

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，

∴∠HMC=∠MAN，

在△ANM和△MCH中，

，

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

（2）CB=CM+2CD；

*：如图，过M作MG⊥AB于G，

∵HD⊥BC，

∴∠HDC=∠MGB=90°，

∵△AMN≌△MHC，

∴MN=HC，

∵MN=MB，

∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，

，

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∵△BMN为等边三角形，

∴BM=2BG，

∴BM=2CD，

∴BC=MC+2CD．

点睛：此题主要考查了等边三角形的*质以及全等三角形的判定与*质的综合应用，关键是正确作出辅助线构造全等三角形和等边三角形，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题