已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点...
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问题详情:
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.
(1)求*:△MED∽△BCA;
(2)求*:△AMD≌△CMD;
(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=S1时,求cos∠ABC的值.
【回答】
【解答】解:(1)∵MD∥BC,
∴∠DME=∠CBA,
∵∠ACB=∠MED=90°,
∴△MED∽△BCA,
(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,
∴MB=MC=AM,
∴∠MCB=∠MBC,
∵∠DMB=∠MBC,
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC,
∵∠AMD=180°﹣∠DMB,
∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC
∴∠AMD=∠CMD,
在△AMD与△CMD中,
△AMD≌△CMD(SAS)
(3)∵MD=CM,
∴AM=MC=MD=MB,
∴MD=2AB,
由(1)可知:△MED∽△BCA,
∴==,
∴S△ACB=4S1,
∵CM是△ACB的中线,
∴S△MCB=S△ACB=2S1,
∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1,
∵=,
∴=,
∴=,
设ME=5x,EB=2x,
∴MB=7x,
∴AB=2MB=14x,
∵==,
∴BC=,
∴cos∠ABC===
【点评】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的*质,全等三角形的*质与判定,相似三角形的判定与*质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
知识点:各地中考
题型:解答题