如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，点P从点A出发，...

问题详情：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C方向向点C运动；同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B方向向点B运动，设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2．

（1）DC=　　cm，sin∠BCD=　　．

（2）当四边形PDCQ为平行四边形时，求t的值．

（3）求S与t的函数关系式．

（4）若S与t的函数图象与直线S=k（k为常数）有三个不同的交点，则k的取值范围是　　．

【回答】

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）如图1，作高线DE，*四边形ABED是矩形，再利用勾股定理求DC的长，在Rt△DEC中，求出

sin∠BCD==；

（2）当四边形PDCQ为平行四边形时，点P在AD上，如图2，根据PD=CQ列方程得：6﹣2t=t，解出即可；

（3）分三种情况：

①当0＜t≤3时，点P在边AD上，如图3，直接利用面积公式求S即可；

②当3＜t≤时，点P在边CD上，如图4，利用梯形面积减去三个三角形面积的差求S；

③当＜t≤9时，点P与C重合，Q在BC上，如图5，直接利用面积公式求S即可；

（4）画出图象，根据图象得出结论．

【解答】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则∠BED=90°，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠BAD=180°，

∵∠B=90°，

∴∠B=∠BAD=90°，

∴四边形ABED是矩形，

∴AD=BE=6，DE=AB=4，

∴EC=BC﹣BE=9﹣6=3，

在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=5，

sin∠BCD==，

故*为：5，；

（2）由题意得：AP=2t，CQ=t，

则PD=6﹣2t，

当四边形PDCQ为平行四边形时，如图2，

则PD=CQ，

∴6﹣2t=t，

∴t=2；

（3）分三种情况：

①当0＜t≤3时，点P在边AD上，如图3，

S=AP•AB=×4×2t=4t；

②当3＜t≤时，点P在边CD上，如图4，

过P作MN⊥BC，交BC于N，交AD的延长线于M，

由题意得：CQ=t，BQ=9﹣t，PA=2t，PD=2t﹣6，

∴PC=5﹣PD=5﹣（2t﹣6）=11﹣2t，

由图1得：sin∠C=，

，

PN=，

∴PM=4﹣PN=4﹣=，

S=S梯形ABCD﹣S△PQC﹣S△ABQ﹣S△APD，

=﹣﹣×﹣=；

③当＜t≤9时，点P与C重合，Q在BC上，如图5，

S==2t；

综上所述，S与t的函数关系式为：S=．

（4）如图6，S=；

S的最小值为： =，

当t=3时，S=4×3=12，

∴则k的取值范围是：＜k＜12．

故*为：＜k＜12．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题