感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP...

问题详情：

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求*）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求*：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，CE＝4，则DE的长为　   　．

【回答】

【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，

∴∠APB+∠DPC＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠DPC，

∵AB∥CD，∠B＝90°，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴△ABP∽△PCD．

探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．

∵∠B＝∠APD，

∴∠BAP＝∠CPD．

∵∠B＝∠C，

∴△ABP∽△PCD，

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵点P是边BC的中点，

∴BP＝CP＝3，

∵CE＝4，

∴，

∴BD＝，

∵∠B＝∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，

即AC⊥AB且AC＝AB＝6，

∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝，AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝．

故*是：．

【点评】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与*质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD．

知识点：相似三角形

题型：解答题