如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°...
问题详情:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,
∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)*:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
求四棱锥P-ABCD的体积.
【回答】
解:方法一 (1)* 如图,连接AC.由AB=4,BC=3,∠ABC=90°
得AC=5.[1分]又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE. [2分]
因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD. [4分]
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE. [5分]
(2)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.
于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE. [6分]
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. [7分]
由题意得∠PBA=∠BPF,
因为sin∠PBA=,sin∠BPF=,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC.
又BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形.
故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG==2,BF===.于是PA=BF=. [10分]
又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=. [12分]
方法二 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立
空间直角坐标系.设PA=h,
则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h). [2分]
(1)* 易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
因为·=-8+8+0=0,·=0, [4分]
所以CD⊥AE,CD⊥AP.
而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,
所以CD⊥平面PAE. [5分]
(2)由题设和(1)知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量. [6分]
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,
即=. [8分]
由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),
又=(4,0,-h),
故=.解得h=. [10分]
又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=. [12分]
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题