如图,四边形是正方形,点为对角线的中点.(1)问题解决:如图①,连接,分别取,的中点,,连接,则与的数量关系是...
问题详情:
如图,四边形是正方形,点为对角线的中点.
(1)问题解决:如图①,连接,分别取,的中点,,连接,则与的数量关系是_____,位置关系是____;
(2)问题探究:如图②,是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形,连接,点,分别为,的中点,连接,.判断的形状,并*你的结论;
(3)拓展延伸:如图③,是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形,连接,点,分别为,的中点,连接,.若正方形的边长为1,求的面积.
【回答】
(1),;(2)的形状是等腰直角三角形,理由见解析;(3)
【解析】
(1)根据题意可得PQ为△BOC的中位线,再根据中位线的*质即可求解;
(2)连接并延长交于点,根据题意*出,为等腰直角三角形,也为等腰直角三角形,由且可得是等腰直角三角形;
(3)延长交边于点,连接,.*出四边形是矩形,为等腰直角三角形,,再*出为等腰直角三角形,根据图形的*质和勾股定理求出O′A,O′B和BQ的长度,即可计算出的面积.
【详解】
解:(1)∵点P和点Q分别为,的中点,
∴PQ为△BOC的中位线,
∵四边形是正方形,
∴AC⊥BO,
∴,;
故*为:,;
(2)的形状是等腰直角三角形.理由如下:
连接并延长交于点,
由正方形的*质及旋转可得,∠,
是等腰直角三角形,,.
∴,.
又∵点是的中点,∴.
∴.
∴,.
∴,∴.
∴为等腰直角三角形.
∴,.
∴也为等腰直角三角形.
又∵点为的中点,
∴,且.
∴的形状是等腰直角三角形.
(3)延长交边于点,连接,.
∵四边形是正方形,是对角线,
∴.
由旋转得,四边形是矩形,
∴,.
∴为等腰直角三角形.
∵点是的中点,
∴,,.
∴.
∴,.
∴.
∴.
∴为等腰直角三角形.
∵是的中点,
∴,.
∵,
∴,,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查正方形的*质、等腰直角三角形的判定与*质、旋转图形的*质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与*质和勾股定理,根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题